The New Yorker: Einsteinov prvi dokaz

Ovih dana proslavljamo stotu godišnjicu Einsteinove opšte teorije relativnosti. U tu čast ćemo proći kroz njegov matematički dokaz Pitagorine teoreme iz vremena kada je bio dečak.

Krajem novembra 1949. godine časopis Subotnja književna revija (Saturday Review of Literature) objavio je esej Alberta Einsteina u kome on opisuje dva važna trenutka iz svog detinjstva. Prvi je povezan sa kompasom koji mu je otac pokazao kada mu je bilo 4-5 godina. Einstein se priseća svog čuđenja što igla uvek pokazuje sever, iako je naizgled ništa ne vuče u tom pravcu. Tada je doneo neke zaključke o strukturi fizičkog sveta: “Iza pojavnosti stvari postoji nešto duboko skriveno”. Drugi trenutak je povezan sa poklonom za 12. rođendan, knjižicom o Euklidovoj geometriji. Einstein kaže da je ideja da se matematički iskaz može “dokazati sa potpunom izvesnošću” kod njega izazvala čuđenje “sasvim druge vrste”. Shvatio je da čista misao ima jednaku moć kao magnetizam naše planete.

Ovih dana proslavljamo stotu godišnjicu Einsteinove opšte teorije relativnosti, jedne od mnogih njegovih ideja koje su osvetlile “nešto duboko skriveno” iza pojavnosti stvari. U tu čast hajde da pokušamo da shvatimo nešto od onoga što je on uradio. Nećemo dirati opštu teoriju relativnosti, jer je previše složena. Kada su Arthura Eddingtona – britanskog astrofizičara i vođu tima koji je potvrdio Einsteinova predviđanja u vezi sa pomračenjem Sunca 1919 – upitali da li je istina da su samo tri naučnika na svetu razumela ovu teoriju, on je zaćutao. “Ne budite tako skromni, Eddingtone”, rekao je njegov sagovornik. “Naprotiv”, odgovorio je on. “ne mogu da se setim trećeg”.

Predlažem da se pozabavimo jednim ranijim, prostijim primerom Einsteinovog zaključivanja. I pre nego što je dobio knjižicu o Euklidu, o geometriji mu je govorio njegov ujak Jakob, inženjer. Einsteina je posebno očarala Pitagorina teorema i “uz mnogo truda”, kako sam kaže za Subotnju reviju, izveo je sopstveni matematički dokaz teoreme. Proći ćemo kroz taj dokaz korak po korak. U pitanju je prvo i svakako najpristupačnije Einsteinovo remek-delo. Ovaj mali biser zaključivanja najavljuje naučno razmišljanje, stil i temperament zrelog Einsteina. Njegov osećaj za simetriju, sažetost, istrajnost i sklonost da misli u slikama koje znamo iz opšte teorije relativnosti – već su tu.

***

Možda ste zapamtili Pitagorinu teoremu kao niz simbola: a2+b2=c2. Ona se odnosi na pravougle trouglove, to jest na trouglove koji imaju jedan prav ugao (90 stepeni). Teorema kaže da je zbir površina kvadrata nad katetama jednak površini kvadrata nad hipotenuzom.

Slika-01

 

Iz godine u godinu milionima tinejdžera u školama širom sveta utuvljuje se ovo pravilo, ali većina o njemu ne razmišlja. Možda niste ni vi. Ali ako pokušate, naviru pitanja. Zašto je to istinito i kako je neko došao do tog zaključka?

Da biste naslutili odgovor, pogledajte etimologiju reči geometrija. Ona je izvedena iz grčkog korena (koji znači “Zemlja” ili “zemljište”) i metria (“merenje”). Lako je shvatiti zašto su se stari narodi i njihovi vladari zanimali za merenje njiva ili parcela zemlje. Vlasti moraju da procene koliki porez će ubrati, koliko vode će biti potrebno za navodnjavanje, koliko žita, ječma i papirusa ratari mogu da proizvedu.

Zamislite pravougaono polje, 30 sa 40 metara.

 

Slika-02

 

Koliko je to zemlje? Važno je znati površinu njive. Površina ovog komada zemlje biće 30 puta 40, što znači 1.200 kvadratnih metara. Porezniku je važan samo taj broj. Njega ne zanima oblik vašeg komada zemlje već samo koliko zemlje imate.

Nadzornike, naprotiv, zanimaju oblici, uglovi i rastojanja. U starom Egiptu godišnje izlivanje Nila ponekad je brisalo granice između parcela, pa je poznavanje tačnih mera bilo neophodno da bi se one ponovo iscrtale. Pre 4.000 godina neki nadzornik možda se zagledao u njivu čije su mere 30 sa 40 i zamislio se: koliko iznosi rastojanje od jednog ugla do dijagonalno naspramnog ugla?

 

Slika-03

Odgovor na to pitanje manje je očigledan od onog ranijeg o površini, ali sve stare kulture širom sveta – u Vavilonu, Kini, Egiptu, Grčkoj i Indiji – otkrile su rešenje. Pravilo do kog su došle danas se zove Pitagorina teorema, u čast Pitagore sa Samosa, grčkog matematičara, filozofa i vođe kulta koji je živeo oko 550. godine pre nove ere. Potrebno je da zamislimo tri kvadratne parcele – jednu nad kraćom stranicom pravougaonika, drugu nad dužom i treću nad njegovom dijagonalom.

Slika-04

 

Sada treba da izračunamo površine kvadrata nad katetama i da ih saberemo. Po Pitagorinoj teoremi, rezultat, 900 + 1.600 = 2.500 mora biti jednak površini kvadrata nad dijagonalom. To nam omogućava da izračunamo nepoznatu veličinu koju tražimo: 50 metara, jer 50 x 50 je jednako 2.500.

Pitagorina teorema je istinita za sve pravougaonike bez obzira na njihove dimenzije: izdužene, jednakostranične i one između. Zbir kvadrata nad dvema stranicama uvek je jednak kvadratu nad dijagonalom. (Preciznije, sabiraju se površine kvadrata a ne sami kvadrati. Ali ovako je prostije, pa ću nastaviti da govorim “kvadrati” kada mislim na njihove površine.) Isto pravilo važi i za pravougle trouglove, oblik koji dobijemo kad kvadrat presečemo po dijagonali.

 

Slika-05

 

Pravilo sada više liči na ono koje ste učili u školi: a2 + b2 = c2, ili rečima: zbir kvadrata nad katetama pravouglog trougla jednak je kvadratu nad njegovom hipotenzom.

Ali zašto je ova teorema istinita? Na kojoj logici se zasniva? Danas je poznato više stotina dokaza. Jedan se pripisuje Pitagori i kineskim misliocima koji su do njega došli nezavisno jedni od drugih. Jedan komplikovan dokaz nalazimo u Euklidovim Elementima, s kojim su se đaci rvali prethodnih 2.300 godina i koji je u filozofu Arthuru Schopenhaueru pobudio “transfer neprijatnosti kao posle mađioničarskog trika”. Postoji i dokaz američkog predsednika Jamesa A. Garfielda, koji za tu svrhu domišljato koristi trapezoid.

Einstein nije ostavio pisani trag o svom dečačkom dokazu. U eseju za Subotnju reviju ga je opisao u kratkim crtama i pomenuo da je pošao od “sličnosti trouglova”. Njegovi biografi se slažu da je on možda sam za sebe otkrio standardni udžbenički dokaz u kome slični trouglovi (oni koji izgledaju kao fotografsko smanjenje ili uvećanje istog trougla) zaista igraju glavnu ulogu. Walter Isaacson, Jeremy Bernstein i Banesh Hoffman došli su do tog pomalo razočaravajućeg zaključka i svako od njih opisao je verovatne Einsteinove korake dok je ni ne znajući otkrivao toplu vodu.

Ali pre 24 godine pojavila se druga verzija izgubljenog dokaza. U svojoj knjizi Fraktali, haos, zakoni potenciranja (Fractals, Chaos, Power Laws) fizičar Manfred Schroeder izložio je čudesno jednostavan dokaz Pitagorine teoreme koji je pripisao Einsteinu. Schroeder kaže da mu je dokaz pokazao njegov prijatelj, hemijski fizičar Shneior Lifson sa instituta Weizmann, u Rehovotu, u Israelu, a da ga je ovaj čuo od fizičara Ernsta Strausa, Einsteinovog bivšeg asistenta, koji ga je čuo od Einsteina. Iako ne možemo biti sigurni da je dokaz koji sledi Einsteinov, svako ko poznaje njegovo delo, prepoznaće njegov rukopis.

***

Biće nam lakše ako najpre brzo protrčimo kroz dokaz kako bismo sagledali njegovu celokupnu strukturu.

Korak 1: Povucite normalnu liniju od hipotenuze do pravog ugla. Tako ćete podeliti prvobitni pravougli trougao na dva manja pravougla trougla.

 

Slika-06

 

Korak 2: Uočite da je zbir površina malog i srednjeg trougla jednak površini velikog trougla.

 

Slika-07

 

Korak 3: Veliki, srednji i mali trougao su slični u tehničkom smislu: njihovi odgovarajući uglovi su jednaki i njihove odgovarajuće stranice su proporcionalne. Njihova sličnost postaje očigledna ako ih u mislima zarotirate tako da im hipotenuza bude gore, a prav ugao dole levo:

Slika-08

 

Korak 4: Pošto su trouglovi slični, svaki zauzima isti fraktal f površine kvadrata nad njegovom hipotenuzom. Simbolički izraženo, trouglovi imaju površine fa2, fb2 i fc2, kao što je naznačeno na dijagramu.

Slika-09

 

(Ne brinite ako vam ovaj korak nije sasvim jasan. Kasnije ću se vratiti na njega i nadam se da će vam biti razumljiviji.)

Korak 5: Zapamtite iz Koraka 2 da je zbir malog i srednjeg trougla veliki trougao. Onda iz Koraka 4 sledi: fa2 + fb2 = fc2.

Korak 6: Podelite obe strane gornje jednakosti sa f. Dobićete a2 + b2 = c2, što znači da je zbir površina kvadrata nad katetama jednak površini kvadrata nad hipotenuzom. To je Pitagorina teorema.

Dokaz počiva na dve stvari. Prva je to što pravougli trougao može da se razloži na dve manje kopije samog sebe (Koraci 1 i 3). To je osobenost pravouglih trouglova. Ako pokušate, na primer, da podelite nepravougli jednakostranični trougao na dva manja jednakostranična trougla, videćete da je to nemoguće. Tako Einsteinov dokaz otkriva zašto Pitagorina teorema važi samo za pravougle truglove: samo oni su sačinjeni od malih kopija samih sebe. Druga stvar je zbir. Zašto je jedan kvadrat zbir druga dva (Korak 6)? Zato što je jedan trougao zbir druga dva (Korak 2), a trouglovi su srazmerni kvadratima (Korak 4).

Logička veza između kvadrata i trouglova uspostavlja se preko zbunjujućeg Koraka 4. Evo kako ćemo to savladati. Pokušajte s najlakšom vrstom pravouglog trougla, jednakostraničnim, poznatim i kao trougao 45-45-90, koji nastaje presecanjem kvadrata nadvoje duž njegove dijagonale.

Slika-10

Kao i ranije, konstruišite kvadrat nad njegovom hipotenuzom.

Slika-11

Ako isprekidanim linijama označimo dijagonale novonastalog kvadrata, slika će ličiti na uputstvo za pravljenje koverte.

Slika-12

 

Kao što vidite, četiri kopije trougla precizno se uklapaju u kvadrat. Ili, drugim rečima, trougao zauzima tačno četvrtinu kvadrata. To znači da je f=1/4, ako koristimo gornju notaciju.

Sada dolazi ključna stvar. Nismo rekli koliki su kvadrat i jednakostranični pravougli trougao. Odnos njihovih površina uvek je jedan prema četiri, za svaki takav koverat. To je svojstvo njegovog oblika, a ne njegove veličine.

 

Slika-13

 

To je poenta Koraka 4. Prilično očigledno, zar ne?

To isto važi za svaki pravougli trougao, a ne samo za jednakostranični. Trougao uvek zauzima jedan fraktal f kvadrata nad svojom hipotenuzom i taj fraktal ostaje srazmerno isti bez obzira na veličinu trougla i kvadrata. Naravno, numerička vrednost zavisi od proporcija trougla; ako je trougao dugačak i tanak, kvadrat nad njegovom hipotenuzom imaće mnogo veću površinu od njegove četvorostruke površine, to jest njegova površina će biti mnogo manja od 1/4. Ali numerička vrednost nije važna. Einsteinov dokaz pokazuje da u svakom slučaju f na kraju nestaje. On ulazi na pozornicu s desne strane (Korak 4) i brzo izlazi na levu (Korak 6).

Ovde vidimo suštinsku ulogu argumenta simetrije. U nauci i matematici kažemo da je nešto simetrično ako neki njegovi aspekti ostaju isti uprkos promeni. Lopta, na primer, ima rotacionu simetriju; rotiraj je oko njenog srediišta koliko hoćeš, njen izgled se neće menjati. Roršahova mrlja ima refleksionu simetriju: njena slika u ogledalu odgovara originalu. U Koraku 4 ovog dokaza, Einstein je koristio simetriju poznatu kao simetriju skaliranja. Uzmite pravougli trougao s kvadratom nad hipotenuzom i povećajte ili smanjite njihovu veličinu u istoj meri – kao na fotokopirnom aparatu. Ta promena će promeniti neke njihove crte (njihove površine i dužine stranica) a neke će ostati nepromenjene (uglovi, proporcije i odnos površina). Nepromenljivost odnosa površina je u osnovi Koraka 4.

***

Tokom celog svog života Einstein će koristiti i razvijati argument simetrije kao skalpela za dospevanje do skrivene suštine stvari. Njegov revolucionarni rad iz 1905, u kom izlaže posebnu teoriju relativnosti, počinje isticanjem jedne simetrije u postojećoj teoriji o elektricitetu i magnetizmu: “Poznato je da Maxwellova elektrodinamika – onako kako se danas obično shvata – kada se primeni na tela u kretanju, vodi do asimetrija koje ne izgledaju inherentne toj pojavi”. Einstein je naslutio da te asimetrije moraju biti znak da je nešto trulo u samom središtu tadašnje formulacije fizike. Sve drugo – prostor, vreme, materija, energija – bilo je dostupno njegovom umu kao na tanjiru. Pomislite kakva je hrabrost bila potrebna da bi se iz temelja preformulisala gotovo cela fizika, što je podrazumevalo revidiranje Newtona i Maxwella.

I posebna i opšta teorija relativnosti takođe su duboko geometrijske teorije. One zamišljaju svet koji ima još jednu dimenziju pored opštepoznate tri; ta četvrta dimenzija je vreme. Umesto da razmatra rastojanje između dve tačke (prostornu meru) posebna teorija relativnosti vidi Pitagorinu teoremu kao interval između dva događaja (meru prostor-vremena). U opštoj teoriji relativnosti gde samo vreme postaje zakrivljeno materijom i energijom u njoj, Pitagorina teorema i dalje ima svoju ulogu; ona se preoblikuje u kvantitet koji se naziva metrički i koji meri – prostorno-vremensku razdvojenost između infinitezimalno bliskih događaja, čija se zakrivljenost može privremeno zanemariti. U izvesnom smislu Einstein je tokom celog života bio očaran Pitagorinom teoremom.

Stil ovde izloženog dokaza Pitagorije teoreme, elegantan i naizgled lak, najavljuje neke osobine Einsteina kao zrelog naučnika. U Koraku 1 on povlači jednu jedinu liniju i Pitagorina teorema pada kao zreli avokado. Taj minimalistički duh karakterističan je za ceo Einsteinov naučni rad. Zvuči neverovatno, ali u jednom delu svog rada o posebnoj relativnosti on je revolucionisao naše pojmove prostora i vremena samo uz pomoć srednjoškolske algebre i matematike.

Na kraju, iako dokaz Pitagorine teoreme koji je izveo mladi Einstein izgleda lak, on to izvesno nije bio. Setimo se da u eseju za Subotnju reviju Einstein kaže da je taj dokaz iziskivao “mnogo truda”. Kasnije u životu dobro će mu poslužiti ta upornost – koju je on nazivao tvrdoglavost. Bile su mu potrebne godine da formuliše opštu teoriju relativnosti i često ga je obeshrabrivala apstraktna matematiika koju je ta teorija zahtevala. Iako je bio sjajan matematičar, nije bio među najboljima na svetu. (“Svaki klinac na ulicama Getingena bolje od Einsteina razume četvorodimenzionalnu geometriju”, primetio je matematičar David Hilbert, Einsteinov savremenik.)

Mnogo godina posle svog dečijeg dokaza Pitagorine teoreme, Einstein se dopisivao sa jednom devojčicom od 12 godina koja je muku mučila sa matematiom. Trećeg januara 1943. mlađa srednjoškolka Barbara Lee Wilson pismom ga je zamolila za savet. “Većina devojčica u mom razredu ima svoje omiljene junake kojima piše pisma” počela je. “Moji junaci ste vi i moj ujak koji radi u obalskoj straži”. Barbara je rekla Einsteinu da strepi za svoj uspeh iz matematike: “Moram da radim duže nego većina mojih drugara. Brinem (možda suviše)”. Četiri dana kasnije Einstein joj je poslao odgovor: “Nikad nisam sanjao da ću biti nečiji junak”, napisao je. “Ali pošto ste me vi nominovali, sada se tako osećam”. A školske brige Barbare Wilson? “Ne brinite zbog teškoća sa matematikom”, napisao je. “Uveravam vas da su moje i dan-danas veće od vaših.”

Autor: Steven Strogatz, The New Yorker, 19.11.2015.

Prevela Slavica Miletić

Izvor: Peščanik

Spritus Movens

Spiritus Movens, časopis za savremenu duhovnost, društvo i ljude